Dokumentation/Calc Funktionen/POTENZREIHE

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Calc Funktionen Start | Liste der Funktionen | Abkürzungen

Funktionsname:

POTENZREIHE

Kategorie:

Mathematisch

Zusammenfassung:

Berechnet die Summe der ersten Terme einer unendlichen Potenzreihe der Form:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty }a_nx^n }[/math]

x ist die Variable und a_n ist der Koeffizient des Terms n^th in der Reihe.

Syntax:

POTENZREIHE(X; N; M; Koeffizienten)

Rückgabewerte:

Gibt die Summe der ersten Terme der gegebenen Potenzreihe als Dezimalzahl zurück.

Argumente:

X ist die Dezimalzahl oder die Referenz auf eine Zelle, die Variable der Potenzreihe enthält.

N ist die Dezimalzahl oder die Referenz auf eine Zelle, die die erste Potenz enthält.

M ist die Dezimalzahl oder die Referenz auf eine Zelle, die das Inkrement der Potenz für jeden Term enthält.

Koeffizienten gibt die Koeffizienten für die ersten Terme der Potenzreihe als Set von Dezimalzahlen zurück. Die Zahl an mitgegebenen Koeffizienten definiert die Zahl von zu berechnenden Termen (ein Term pro Koeffizient). Koeffizienten sollten eine der folgenden Formen annehmen.

• Eine einfache Referenz auf einen Zellbereich, der Dezimalzahlen beinhaltet (zum Beispiel A1:B9).
• Der Name eines benannten Zellbereiches, deren Zellen Dezimalzahlen enthalten.
• Der Name eines Datenbankbereiches, deren Zellen Dezimalzahlen enthalten.
• Eine Aufzählung an Dezimalzahlen (zum Beispiel {1,2, 3,4, 5,6, 7,8}).

Die folgenden Fehler können sich ereignen:

• Falls X, N, oder M nicht numerisch sind, dann meldet POTENZREIHE einen #WERT!-Fehler.
• POTENZREIHE wird nicht unbedingt einen Fehler melden, wenn Koeffizienten eine Dezimalzahl oder eine Referenz auf eine Text-Zelle ist. Falls der Koeffizient trotzdem ein Text in Anführungszeichen oder eine Referenz auf eine einzelne Zelle mit einem Text ist, dann meldet POTENZREIHE einen #WERT! Fehler.
• Wo Koeffizient als Aufzählung oder Zellbereich angegeben ist, werden Texte oder Leerzeichen ignoriert.
• Falls X negativ ist und entweder N oder M keine Ganzzahlen sind, dann meldet POTENZREIHE einen invalid argument error (Fehler:502). Negative Werte können nicht in gebrochene Potenzen umgewandelt werden.
• Falls X und N beide gleich 0 sind, dann meldet POTENZREIHE einen #WERT! Fehler. 0 hoch 0 ist nicht definiert.

Zusätzliche Informationen:

• Eine Potenzreihe kann wie folgt angegeben werden:

[math]\displaystyle{ \text{f}(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n+m}+a_{2}x^{n+2m}+a_{3}x^{n+3m}+... }[/math]

wobei:

• x die Variable ist.
• a_n der Koeffizient des a_n-Terms der Reihe ist.
• m das Inkrement der Potenz jedes Terms ist.

• Zum Beispiel ist die erweiterte Reihe von e^x eine normale Reihe mit folgender Formel:

[math]\displaystyle{ \text {e}^{x}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+... }[/math]

Um den (ungefähren) Wert von e^x herauszufinden, könnten wir POTENZREIHE verwenden und die Argumente wie folgt setzen:

• Setze X auf die Potenz von e, die Sie benötigen.
• Setze N auf 0 (der erste Term in der Reihe ist eine Konstante).
• Setze M auf 1 (die Potenz von x wird bei jedem Term in der Reihe um 1 erhöht).
• Setze Koeffizienten auf den Wert 1, [math]\displaystyle{ \frac{1}{1!} }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{1}{2!} }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{1}{3!} }[/math] und [math]\displaystyle{ \frac{1}{4!} }[/math]. Die Verwendung von fünf Koeffizienten wird POTENZREIHE veranlassen, die ersten fünf Terme der Potenzreihe zu berechnen.

Siehe den Abschnitt #Beispiele weiter unten für mehr Beispiele zu dieser Potenzreihe.

• Ein anderes Beispiel einer üblichen Potenzreihe ist die des trigonometrischen Sinus mit der Formel:

[math]\displaystyle{ \text{sin}(x)=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+... }[/math]

Um den (ungefähren) Wert von sin(x) herauszufinden, könnten wir POTENZREIHE verwenden und die Argumente wie folgt setzen:

• Setze X auf den Winkel im Bogenmaß, von dem Sie den Sinus berechnen wollen..
• Setze N auf 1 (der erste Term in der Reihe ist ein Term von x¹).
• Setze M auf 2 (die Potenz von x wird bei jedem Term in der Reihe um 2 erhöht).
• Setze Koeffizienten auf die Werte 1, [math]\displaystyle{ -\frac{1}{3!} }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{1}{5!} }[/math] und [math]\displaystyle{ -\frac{1}{7!} }[/math]. Die Verwendung von vier Koeffizienten wird POTENZREIHE veranlassen, die ersten vier Terme der Potenzreihe zu berechnen.

Siehe den Abschnitt #Beispiele weiter unten für mehr Beispiele zu dieser Potenzreihe.

Beispiele:

Basis Beispiele

Formel	Beschreibung	Ergebnis
=POTENZREIHE(2; 0; 1; {1; 2; 3})	Hier berechnet die Funktion [math]\displaystyle{ 1 + 2x + 3x^2 }[/math], wobei x = 2.	17
=POTENZREIHE(0,5; 1; 2; {1; 1; 1})	Hier berechnet die Funktion [math]\displaystyle{ x + x^3 + x^5 }[/math], wobei x = 0,5.	0,65625

ungefähre Werte für e^x berechnen

Verwenden Sie die o. g. Beschreibung der Potenzreihe e^x, setzen Sie die Daten in Ihre Tabelle wie es in der folgenden Tabelle vorgegeben ist.

	A	B
1	X	1
2	N	0
3	M	1
4	Koeffizient[0]	1
5	Koeffizient[1]	1
6	Koeffizient[2]	0,5
7	Koeffizient[3]	0,166666666666667
8	Koeffizient[4]	0,041666666666667

Formel	Beschreibung	Ergebnis
=POTENZREIHE(B1; B2; B3; B4:B8) wobei die Zellen B1 bis B8 die Zahlen von oben enthalten.	Hier berechnet die Funktion einen ungefähren Wert von e. Die Berechnung mehrerer Terme der Potenzreihe gibt einen genaueren Näherungswert zum aktuellen Wert (2.7182818284…).	2,70833333333333
=POTENZREIHE(0,5; B2; B3; B4:B8) wobei die Zellen B2 bis B8 die o. g. Zahlen enthalten.	Hier berechnet die Funktion einen ungefähren Wert der Quadratwurzel von e. Die Berechnung mehrerer Terme der Potenzreihe gibt einen genaueren Näherungswert zum aktuellen Wert (1.6487212707…).	1,6484375

ungefähre Werte für sin(x) berechnen

Verwenden Sie die o. g. Beschreibung der Potenzreihe sin(x), setzen Sie die Daten in Ihre Tabelle wie es in der folgenden Tabelle vorgegeben ist.

	A	B
1	X	1,0471975511966
2	N	1
3	M	2
4	Koeffizient[0]	1
5	Koeffizient[1]	−0,166666666666667
6	Koeffizient[2]	0,008333333333333
7	Koeffizient[3]	−0,000198412698413

Formel	Beschreibung	Ergebnis
=POTENZREIHE(B1; B2; B3; B4:B7) wobei die Zellen B1 bis B7 die Zahlen von oben enthalten.	Hier berechnet die Funktion einen ungefähren Wert von sin(π/3). Die Berechnung mehrerer Terme der Potenzreihe gibt einen genaueren Näherungswert zum aktuellen Wert (0.866025403784439…).	0,866021271656373
=POTENZREIHE(0,5; B2; B3; B4:B7) wobei die Zellen B2 bis B7 die Zahlen von oben enthalten.	Hier berechnet die Funktion einen ungefähren Wert für sin(0,5). Die Berechnung mehrerer Terme der Potenzreihe gibt einen genaueren Näherungswert zum aktuellen Wert (0.479425538604203…).	0,479425533234127

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